Sufficient Statistics: Working out different distributions (Part 3)

/ noushin.gauhar

আমরা আরও কয়েকটা উদাহরণ দেখব বিভিন্ন ডিস্ট্রিবিওশনের। উদাহরণগুলো বুঝার জন্য সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স ও ফ্যাক্টরাইজেশন থিওরেমের ধারনা থাকতে হবে। এই থ্রেডের আগের অংশ এইখানে। 

৫। ধরি একটা নরমাল ডিস্ট্রিবিওশন দেওয়া আছে, যার অজানা প্যারামিটার মিন μ এবং ভ্যারিয়্যান্স σ2 = 1। μ এর সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স কি হবে?

নরমাল ডিস্ট্রিবিওশনের pdf,

f(x)= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \: e^{- \frac{1}{2} (\frac{x- \mu}{\sigma})^{2}}

দেওয়া আছে, ভ্যারিয়্যান্স σ2 = 1। সুতরাং স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন σ = 1।

f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \: e^{- \frac{1}{2} (x- \mu)^{2}}

জয়েন্ট pdf হবে,

\begin{aligned} f(x_1,x_2,...,x_n|\mu) &= f(x_1|\mu) \times f(x_2|\mu) \times...\times f(x_n|\mu) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \: e^{- \frac{1}{2} (x_1 - \mu)^{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \: e^{- \frac{1}{2} (x_2- \mu)^{2}} \times ... \times \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \: e^{- \frac{1}{2} (x_n- \mu)^{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt[n]{2\pi}} \: e^{- \frac{1}{2} \sum (x_i- \mu)^{2}} \phantom{XXXX}(1) \end{aligned}

এখন লেখার সুবিধার জন্য আমরা খালি e এর পাওয়ার অংশটুকু নিয়ে কাজ করব। 

\begin{aligned} -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 &= -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (x_i -\bar{x} +\bar{x} - \mu)^2 \phantom{XXXX}(2)\\ &= -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar{x})^2+2(x_i-\bar{x})(\bar{x}-\mu)+(\bar{x}-\mu)^2] \\ &= -\frac{1}{2}[\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+2(\bar{x}-\mu)\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})+\sum_{i=1}^{n}(\bar{x}-\mu)^2]\phantom{XXXX}(3)\\ &= -\frac{1}{2}[\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+0+n(\bar{x}-\mu)] \\ &= -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2-\frac{n}{2}(\bar{x}-\mu)\phantom{XXXX}(4) \end{aligned}

ফ্যাক্টরাইজেশনের সুবিধার্তে (2) নং লাইনে x̄ আনা হয়েছে। (3) নং লাইনে ∑(xi – x̄) = 0, কারণ আমরা জানি কোন ডাটাসেটের ডাটা পয়েন্টগুলো থেকে সেই ডাটাসেটের মিন বিয়োগ করে, সবগুলো রেজাল্ট যোগ করলে শূন্য হবে। এখন আমরা (4) থেকে প্রাপ্ত রেজাল্ট (1) বসাব।

\begin{aligned} f(x_1,x_2,...,x_n|\mu) &= \frac{1}{\sqrt[n]{2\pi}} \: e^{- \frac{1}{2} \sum (x_i- \mu)^{2}}\\ &= \frac{1}{\sqrt[n]{2\pi}} \: e^{- \frac{1}{2} \sum (x_i- \bar{x})^{2} - \frac{n}{2}(\bar{x}-\mu)^{2}} \\ &= [\frac{1}{\sqrt[n]{2\pi}} \: e^{- \frac{1}{2} \sum (x_i- \bar{x})^{2}}] \: [e^{- \frac{n}{2}(\bar{x}-\mu)^{2}}] \end{aligned}

এইখানে,

h(x) = \frac{1}{\sqrt[n]{2\pi}} \: e^{- \frac{1}{2} \sum (x_i- \bar{x})^{2}} \\ \\ g_{\theta}(t) = e^{- \frac{n}{2}(\bar{x}-\mu)^{2}}

আমরা gθ(t) খেয়াল করলে দেখতে পারি সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স T(x) = x̄   হবে।

৬। ধরি একটা নরমাল ডিস্ট্রিবিওশন দেওয়া আছে, যার অজানা প্যারামিটার মিন μ এবং ভ্যারিয়্যান্স σ2 । μ, σ2 এর সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স কি হবে?

ধরি,

\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i-1}^{n}x_i

s^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i-1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2} \phantom{XXXX}(5)

জয়েন্ট pdf হবে,

\begin{aligned} f(x_1,x_2,...,x_n|\mu, \alpha^{2}) &= f(x_1|\mu, \alpha^{2}) \times f(x_2|\mu, \alpha^{2}) \times...\times f(x_n|\mu, \alpha^{2}) \\ &= \frac{1}{\alpha \sqrt{2 \pi}} \: e^{- \frac{1}{2} (\frac{x_1 - \mu}{\alpha})^{2}} \times \frac{1}{\alpha\sqrt{2 \pi}} \: e^{- \frac{1}{2} (\frac{x_2 - \mu}{\alpha})^{2}} \times ... \times \frac{1}{\alpha\sqrt{2 \pi}} \: e^{- \frac{1}{2} (\frac{x_n - \mu}{\alpha})^{2}} \\ &= (\frac{1}{\alpha\sqrt{2\pi}})^{n} \: e^{- \frac{1}{2} \sum (\frac{x_i - \mu}{\alpha})^{2}} \\ &= (\frac{1}{\alpha\sqrt{2\pi}})^{n} \: e^{- \frac{1}{2\alpha^{2}} \sum (x_i- \mu)^{2}} \phantom{XXXX}(6) \end{aligned}

এখন লেখার সুবিধার জন্য আমরা খালি e এর পাওয়ার অংশটুকু নিয়ে কাজ করব। 

\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 &= \sum_{i=1}^{n} (x_i -\bar{x} +\bar{x} - \mu)^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2+2(x_i-\bar{x})(\bar{x}-\mu)+(\bar{x}-\mu)^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+2(\bar{x}-\mu)\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})+\sum_{i=1}^{n}(\bar{x}-\mu)^2 \\ &= (n-1)s^{2} + n(\bar{x} - \mu)^{2} \phantom{XXXX}[from (5)] \end{aligned}

এখন এই মান (6) এ বসাই,

\begin{aligned} f(x_1,x_2,...,x_n|\mu, \alpha^{2}) &= (\frac{1}{\alpha\sqrt{2\pi}})^{n} \: e^{- \frac{1}{2\alpha^{2}} \sum (x_i- \mu)^{2}} \\ &= (\frac{1}{\alpha\sqrt{2\pi}})^{n} \: e^{- \frac{1}{2\alpha^{2}} ((n-1)s^{2} + n(\bar{x} - \mu)^{2}) } \end{aligned}

এইখানে,

h(x) = 1 \\ \\ g_{\theta}(t) = (\frac{1}{\alpha\sqrt{2\pi}})^{n} \: e^{- \frac{1}{2\alpha^{2}} ((n-1)s^{2} + n(\bar{x} - \mu)^{2}) }

আমরা gθ(t) খেয়াল করলে দেখতে পারি সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স T(x) = (s2, x̄)   হবে।

আরও দেখতে চাইলে:

Leave a Reply