আমরা আরও কয়েকটা উদাহরণ দেখব বিভিন্ন ডিস্ট্রিবিওশনের। উদাহরণগুলো বুঝার জন্য সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স ও ফ্যাক্টরাইজেশন থিওরেমের ধারনা থাকতে হবে। এই থ্রেডের আগের অংশ এইখানে। ৫। ধরি একটা নরমাল ডিস্ট্রিবিওশন দেওয়া আছে, যার অজানা প্যারামিটার মিন μ এবং ভ্যারিয়্যান্স σ2 = 1। μ এর সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স কি হবে? নরমাল ডিস্ট্রিবিওশনের pdf, $latex f(x)= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \: … Continue reading Sufficient Statistics: Working out different distributions (Part 3)
Statistics & Probability
Sufficient Statistics: Working out different distributions (Part 2)
আমরা আরও কয়েকটা উদাহরণ দেখব বিভিন্ন ডিস্ট্রিবিওশনের। উদাহরণগুলো বুঝার জন্য সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স ও ফ্যাক্টরাইজেশন থিওরেমের ধারনা থাকতে হবে। এই থ্রেডের আগের অংশ এইখানে। ৩। একটা এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিওশন দেওয়া আছে, যার অজানা প্যারামিটার λ। λ এর সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স কি হবে? এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিওশনের pdf, $latex f(x)=\lambda \: e^{-\lambda x} &s=1$ জয়েন্ট pdf হবে, $latex \begin{aligned} f(x_1,x_2,...,x_n|\lambda) &= … Continue reading Sufficient Statistics: Working out different distributions (Part 2)
Sufficient Statistics: Working out different distributions (Part 1)
আমরা ফ্যাক্টরাইজেশন থিওরেম ব্যাবহার করে বিভিন্ন প্রবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিওশনের জন্য সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স বের করে দেখব। এর জন্য নিচের জিনিসগুলো খেয়াল রাখতে হবে। যে ডিস্ট্রিবিওশন দেওয়া থাকবে, তার pdf/pmf জানতে হবে। জয়েন্ট pdf/pmf বের করতে হবে। h(x) এবং gθ(t) বের করতে হবে। অজানা প্যারামিটারসহ সকল অংশ gθ(t) তে যাবে, বাদবাকি সব হবে h(x)। gθ(t) ফাংশনে অজানা প্যারামিটার এবং কন্সটান্ট বাদে … Continue reading Sufficient Statistics: Working out different distributions (Part 1)
Neyman-Fisher Factorization Criterion/Theorem: How to find a sufficient statistic?
আমরা সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্সের কনসেপ্ট জেনেছি। এখন যদি আমরা কোন প্যারামিটারের জন্য সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স বের করতে চাই, তাহলে কি করব? আমরা সংজ্ঞা থেকে বলতে পারি যে র্যান্ডম স্যাম্পলগুলোর কন্ডিশনাল ডিস্ট্রিবিউশন বের করতে পারি, এরপর ক্যালকুলেশন করে দেখতে পারি ডিস্ট্রিবিউশন প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে কিনা। প্রাক্টিকালি কন্ডিশনাল ডিস্ট্রিবিউশন বের করা এত সহজ না। এজন্য কোন প্যারামিটারের জন্য … Continue reading Neyman-Fisher Factorization Criterion/Theorem: How to find a sufficient statistic?
Sufficient Statistic: Definition, Example
আমরা জানি যে পপুলেশনের ক্ষেত্রে প্যারামিটার এবং স্যাম্পলের ক্ষেত্রে স্ট্যাটিস্টিক্স বলে। যদি আমরা এমন কোন একটা স্ট্যাটিস্টিক্স জানি যেইটা দিয়ে ঐ পপুলেশনের কোন প্যারামিটার সম্পর্কে সব জানা হয়ে যায়, তাহলে সেই স্ট্যাটিস্টিক্সকে আমরা বলব Sufficient statistics। যেমন স্যাম্পলের মিন x̄ দিয়ে আমরা পপুলেশন মিন μ এস্টিমেট করতে চাই। অরিজিনাল ডাটা পয়েন্টের যা ইনফরমেশন পপুলেশন মিনে … Continue reading Sufficient Statistic: Definition, Example
Random Variables
আলজেবরায় আমরা ইকুয়েশন সল্ভ করতে বিভিন্ন ভ্যারিয়েবল ব্যাবহার করেছি। কোন একটা অজানা মানকে প্রকাশ করতে এই ভ্যারিয়েবল ব্যাবহার করি। যেমন: x + 4 = 7, এইখানে সল্ভ করলে আমরা মান পাব x = 3। আমরা কিছু ক্যালকুলেশন করে ভ্যারিয়েবল x এর মান পেয়েছি। Random variable: অনুরূপভাবে প্রবাবিলিটি ও স্টাটিস্টিক্সে র্যান্ডম ভ্যারিয়েবল ব্যাবহার করা হয়। কোন … Continue reading Random Variables
Conditional Probability
Conditional probability: ধরি দুইটা ইভেন্ট A ও B। ইভেন্ট B ঘটার সাপেক্ষে ইভেন্ট A হওয়ার যে প্রবাবিলিটি, সেইটাই হল ইভেন্ট A এর কন্ডিশনাল প্রবাবিলিটি। এই নোটেশন এইভাবে দেওয়া হয় - P(A|B) । $latex P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \phantom{xxxxxxx} &s=3$ এইখানে P(B) > 0 আমরা প্রবাবিলিটির সূত্র থেকে জানি: সাধারণ ক্ষেত্রে যদি আমরা ইভেন্ট এর … Continue reading Conditional Probability
Additive Rules: Probability
রুল ১। ধরি ২টি ইভেন্ট A ও B (মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ না), ইভেন্ট A অথবা B ঘটার প্রবাবিলিটি হবে - ভেন ডায়াগ্রাম থেকে দেখলে ব্যাপারটা ভাল বুঝা যাবে। P(A) হিসাব করার সময় আমরা পুরো A ইভেন্টের সবটুকু নিয়ে হিসাব করছি, আবার P(B) হিসাব করার সময় একইভাবে পুরো B ইভেন্টের পুরোটা নিয়ে হিসাব করছি। যেহেতু A আর … Continue reading Additive Rules: Probability
Probability of an Event
Probability: প্রবাবিলিটি একটা রেশিও যেইটা প্রকাশ করে সম্ভাব্য সব outcome এর সাপেক্ষে একটা নির্দিষ্ট outcome কতবার ঘটতে পারে। কোন ইভেন্টের প্রবাবিলিটি P(E) এইভাবে প্রকাশ করে। প্রবাবিলিটির কিছু প্রপার্টি: 0 ≤ P(E) & ≤ 1 , কোন ইভেন্টের প্রবাবিলিটি 0 থেকে 1 এর মধ্যে হয়। P(sure event) = 1 , যে ইভেন্ট ঘটবেই, তার প্রবাবিলিটি 1। P(impossible event) … Continue reading Probability of an Event
Events: Types of Events in Probability
কোন এক্সপেরিমেন্টের এক বা একাধিক outcome কে Event বলে। কোন ডাই টস করলে কি কি outcome হতে পারে? স্যাম্পল স্পেস = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬} এইগুলার মধ্যে যেকোনো একটা হতে পারে। ধরি ডাই টস করলে একটা সংখ্যা ২ উঠল, এইক্ষেত্রে ইভেন্ট, E = {২}। আবার, ডাই টস করলে একটা জোড় সংখ্যা উঠবে, তখন … Continue reading Events: Types of Events in Probability