Bessel’s correction: why N-1?

/ noushin.gauhar

এরমধ্যে আমরা standard deviation (s) আর variance (s2) এর ব্যাপারে জেনেছি। কিন্তু একটা বিষয় লক্ষনীয় স্যাম্পলের s এবং s2 বের করার সময় আমরা N-1 দিয়ে ভাগ করি। কেন করি? শুধু N দিয়ে ভাগ করিনা কেন?

Bessel’s correction: কিছু সূত্রে কারেকশন হিসেবে ’N-1’ দেখা যায়, এই কারেকশনকে Bessel’s correction বলে। স্যাম্পল স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন আর স্যাম্পল ভ্যারিয়েন্সের সূত্রে এই কারেকশন ব্যাবহার করা হয়।

আমরা যদি কোন পপুলেশনের প্রত্যেক আইটেমের ডাটা নিয়ে প্যারামিটার ক্যালকুলেট করতে পারি, তাহলে সবচেয়ে অ্যাকুরেট রেজাল্ট পাওয়া যাবে। কিন্তু বাস্তবে সবসময় পপুলেশনের সবার সব ডাটা পাওয়া যায়না বা সব ডাটা নিয়ে কাজ করা সম্ভব হয়না। তখন স্যাম্পল নিয়ে কাজ করতে হয়। স্যাম্পল স্ট্যাটিস্টিক্স ব্যাবহার করে আমরা পপুলেশন প্যারামিটার এস্টিমেট করি। এইক্ষেত্রে স্যাম্পল স্ট্যাটিস্টিকের যে প্রপার্টি ব্যাবহার করা হয়:

 “কোন পপুলেশনের সম্ভাব্য সব স্যাম্পলের স্যাম্পল স্ট্যাটিস্টিক্স নিয়ে যদি গড় করা হয়, তবে তা পপুলেশন প্যারামিটারের সমান হবে”

স্যাম্পল স্ট্যাটিস্টিক্সের এই প্রপার্টিকে Unbiased বলে।

যখন আমরা ’N-1’ ব্যাবহার করি স্যাম্পল ভ্যারিয়েন্স s2 বের করতে, তখন s2 পপুলেশন ভ্যারিয়েন্স σ2 এর unbiased estimator হয়। শুধু ’N’ ব্যাবহার করলে s2, σ2 এর unbiased estimator হয়না। এজন্য Bessel’s correction ব্যাবহার করা হয় এইক্ষেত্রে। 

s2 হল σ2 এর unbiased estimator, এইটা ম্যাথমেটিকালি প্রুফ করা যায়। তাহলে আমরা প্রুফ করে দেখি। 

প্রুফ করার জন্য দেখাতে হবে s2 এর expectation value হবে σ2। 

(1)

ধরি একটা পপুলেশন যার mean = μ এবং variance = σ2। x1, x2, x3, ….. xn কয়েকটা ইন্ডেপেন্ডেন্ট স্যাম্পল।

প্রত্যেক xi এর expectation value অথবা mean, E(xi) = μ                                                                         (2)

প্রত্যেক xi এর variance, Var(xi) = σ2                                                                                                                  (3)

প্রুফ করার জন্য আমরা নিচের রিলেশনশিপগুলো ব্যাবহার করব:

  • E(∑xi) = ∑ E(xi)
  • E(cx) = cE(x) [এইখানে c একটা কন্সটান্ট ভ্যালু]
  • Var(x) = E(x2) – [E(x)]2 [কোন র‍্যান্ডম ভ্যারিয়াবলের স্কয়ারের এক্সপেকটেশন ভ্যালু থেকে এক্সপেকটেশন ভ্যালুর স্কয়ার বিয়োগ করলে ঐ র‍্যান্ডম ভ্যারিয়াবলের ভ্যারিয়েন্সের সমান হয় ]

শেষের রিলেশনশিপ আর ইকুয়েশন (2) এবং (3) থেকে আমরা পাই, 

(4)

প্রুফের জন্য স্যাম্পল মিনের স্কয়ারের এক্সপেকটেশন ভ্যালু লাগবে,

 

(5)

[স্যাম্পল মিনের ভ্যারিয়ান্স =  σ2/n , গড়ে স্যাম্পল মিন পপুলেশন মিনের সমান হয়]

এখন ইকুয়েশন (1) কে একটু সাজাই,

এখন,

 

 

 

 

[রিলেশনশিপ থেকে]

[ইকুয়েশন (4), (5) থেকে]

তাহলে আমরা পেলাম, 

এখন,

[Proved]

 আরও পড়তে চাইলে:

Leave a Reply