Additive Rules: Probability

/ noushin.gauhar

রুল ১। ধরি ২টি ইভেন্ট A ও B (মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ না), ইভেন্ট A অথবা B ঘটার প্রবাবিলিটি হবে –

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

ভেন ডায়াগ্রাম থেকে দেখলে ব্যাপারটা ভাল বুঝা যাবে। P(A) হিসাব করার সময় আমরা পুরো A ইভেন্টের সবটুকু নিয়ে হিসাব করছি, আবার P(B) হিসাব করার সময় একইভাবে পুরো B ইভেন্টের পুরোটা নিয়ে হিসাব করছি। যেহেতু A আর B ইভেন্ট দুইটা মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ না, তাই ইভেন্ট দুইটি একসাথে ঘটতে পারে। P(A) ও P(B) আলাদা আলাদা হিসাব করতে গিয়ে একসাথে ঘটতে পারে যতটুক, ঐটা দুইবার হিসাবের মধ্যে চলে আসে। তাই P(A ∩ B) বিয়োগ করতে হয়।

১। একটা কার্ডের ডেক থেকে একটা কার্ড তোলা হল। কার্ডটি একটি Ace অথবা Spade হওয়ার প্রবাবিলিটি কত? 

ধরি ace হওয়ার ইভেন্ট A, spade হওয়ার ইভেন্ট B। একটা ডেকে মোট কার্ড 52 টা, ace 4টা এবং spade 13 টা। 

P(A) = 4/52 

P(B) = 13/52

একটা কার্ড একইসাথে ace এবং spade হতে পারে। 

P(A ∩ B) = 1/52

P(A ∪ B) = 4/52 + 13/52 – 13/52 = 4/13

২। রাদিয়া দুইটা কোম্পানিতে ইন্টারভিউ দিয়েছে। রাদিয়ার হিসাব মতে কোম্পানি A থেকে কল পাওয়ার প্রবাবিলিটি 0.8 এবং কোম্পানি B থেকে কল পাওয়ার প্রবাবিলিটি 0.6। দুইটা কোম্পানি থেকেই কল পাওয়ার প্রবাবিলিটি 0.5। যদি তাই হয়, তাহলে রাদিয়ার যেকোনো একটা কোম্পানি থেকে কল পাওয়ার প্রবাবিলিটি কত?

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0.8 + 0.6 – 0.5 = 0.9

রুল ২। ধরি ২টি ইভেন্ট A ও B এবং তারা মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ, ইভেন্ট A অথবা B ঘটার প্রবাবিলিটি হবে –

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

যদি nটি মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ ইভেন্ট থাকে (A1, A2,…,An), তাহলে এই ক্ষেত্রে A1 অথবা A2 অথবা…অথবা An ঘটার প্রবাবিলিটি হবে –

P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + ...+P(A_n)

১। দুইটা ডাইস টসে মোট যোগফল 7 অথবা 11 পাওয়ার প্রবাবিলিটি কত?

ধরি, 7 পাওয়ার ইভেন্ট A, এর স্যাম্পল পয়েন্ট 6টা – { (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) } 

11 পাওয়ার ইভেন্ট B, এর স্যাম্পল পয়েন্ট 2টা – { (5,6) , (6,5) }

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 6/36 + 2/36 = 2/9

২। ইয়াসির একটা গাড়ি কিনবে। সবুজ, সাদা, লাল ও নীল গাড়ি পছন্দ করার প্রবাবিলিটি যথাক্রমে 0.09, 0.15, 0.21 এবং 0.23। ইয়াসিরের উল্লেখিত রঙের মধ্যে একটা গাড়ি কেনার প্রবাবিলিটি কত?

P(G ∪ W ∪ R ∪ B) = P(G) + P(W) + P(R) + P(B) = 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23 = 0.68

রুল ৩। যদি A ও A‘ দুইটি কমপ্লিমেন্টারি ইভেন্ট হয়, তাহলে – 

P(A)+P(A^{'})=1

১। কোন ডাই টসে “5 অথবা 6” না উঠার প্রবাবিলিটি কত?

ধরি ডাই টস করলে “5 অথবা 6” উঠার ইভেন্ট E, না উঠার ইভেন্ট E’। আমরা জানি একটা ডাই টসে মোট স্যাম্পল পয়েন্ট 6 টা। এইখানে ইভেন্ট E এর সম্ভাব্য আউটকাম 2 [5 অথবা 6]। 

P(E) = 2/6 

P(E’) = 1 – P(E) = 1 – 2/6 = 4/6

২। একটা কয়েন 4 বার টস করা হল। কমপক্ষে একটা হেড অবশ্যই উঠবে, এইটার প্রবাবিলিটি কত?

কমপক্ষে একটা হেড পরবে, এইটার ইভেন্ট E। এর কমপ্লিমেন্টারি হবে, একটাও হেড উঠবেনা E’। একটা কয়েন 4 বার টস করলে আমরা যেরকম স্যাম্পল স্পেস পেতে পারি-

{HHHH, HHHT, HHTH,….} 

এখন একটু ভাবি তো কখন একটাও হেড উঠবেনা? যখন সবগুলা টেইল হবে। অর্থাৎ যখন আমরা {TTTT} পাব। কাউন্টিং প্রিন্সিপাল দিয়ে আমরা স্যাম্পল পয়েন্ট পাই- 2 x 2 x 2 x 2 = 16

P(E’) = 1/16

P(E) = 1 – P(E‘) = 1 – 1/16 = 15/16

[N.B. আমার সুবিধার্থে সকল সংখ্যা ইংলিশে লেখা]

আরও পড়তে চাইলে:

Leave a Reply