Sufficient Statistics: Working out different distributions (Part 2)

/ noushin.gauhar

আমরা আরও কয়েকটা উদাহরণ দেখব বিভিন্ন ডিস্ট্রিবিওশনের। উদাহরণগুলো বুঝার জন্য সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স ও ফ্যাক্টরাইজেশন থিওরেমের ধারনা থাকতে হবে। এই থ্রেডের আগের অংশ এইখানে। 

৩। একটা এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিওশন দেওয়া আছে, যার অজানা প্যারামিটার λ। λ এর সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স কি হবে?

এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিওশনের pdf,

f(x)=\lambda \: e^{-\lambda x}

জয়েন্ট pdf হবে,

\begin{aligned} f(x_1,x_2,...,x_n|\lambda) &= f(x_1|\lambda)\times(x_2|\lambda)\times...\times(x_n|\lambda) \\ &= \lambda \: e^{-\lambda x_1} \times \lambda \: e^{-\lambda x_2} \times...\times \lambda \: e^{-\lambda x_n} \\ &= (\lambda \times \lambda \times...\times\lambda) \: e^{-\lambda x_1-\lambda x_2-...-\lambda x_n} \\ &= \lambda^{n} \: e^{-\lambda \sum x_i} \\ \end{aligned}

এইখানে,

h(x) = 1 \\ g_{\theta}(t) = \lambda^{n} \: e^{-\lambda \sum x_i}

আমরা gθ(t) খেয়াল করলে দেখতে পারি সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স T(x) = ∑xi হবে।

৪। একটা গ্যামা ডিস্ট্রিবিওশন দেওয়া আছে, যার অজানা প্যারামিটার α, β। α, β এর সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স কি হবে?

গ্যামা ডিস্ট্রিবিওশনের pdf,

f(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \: x^{\alpha-1} \: e^{-\beta x}

জয়েন্ট pdf হবে,

\begin{aligned} f(x_1,x_2,...,x_n|\alpha,\beta) &= f(x_1|\alpha,\beta)\times(x_2|\alpha,\beta)\times...\times(x_n|\alpha,\beta) \\ &= \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \: x_{1}^{\alpha-1} \: e^{-\beta x_1} \times...\times\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \: x_{n}^{\alpha-1} \: e^{-\beta x_n} \\ &= \frac{\beta^{n\alpha}}{\Gamma (\alpha)^n} \: (x_1x_2...x_n)^{\alpha-1} \: e^{-\beta (x_1+x_2+...+x_n)} \\ &= \frac{\beta^{n\alpha}}{\Gamma (\alpha)^n} \: (x_1x_2...x_n)^{-1} \:(x_1x_2...x_n)^{\alpha} \: e^{-\beta \sum x_i} \\ &= \frac{\beta^{n\alpha}}{\Gamma (\alpha)^n} \: (x_1x_2...x_n)^{-1} \: e^{ln(x_1x_2...x_n)^{\alpha}} \: e^{-\beta \sum x_i} \\ &= \frac{\beta^{n\alpha}}{\Gamma (\alpha)^n} \: (x_1x_2...x_n)^{-1} \: e^{ln(x_1x_2...x_n)^{\alpha} -\beta \sum x_i} \\ &= \frac{\beta^{n\alpha}}{\Gamma (\alpha)^n} \: (x_1x_2...x_n)^{-1} \: e^{\alpha ln(x_1x_2...x_n) -\beta \sum x_i} \\ &= \frac{\beta^{n\alpha}}{\Gamma (\alpha)^n} \: (x_1x_2...x_n)^{-1} \: e^{\alpha (ln x_1+ln x_2+...+ln x_n) -\beta \sum x_i} \\ &= \frac{\beta^{n\alpha}}{\Gamma (\alpha)^n} \: (x_1x_2...x_n)^{-1} \: e^{\alpha \sum ln x_i -\beta \sum x_i} \\ \end{aligned}

এইখানে,

h(x) =(x_1x_2...x_n)^{-1} \\ \\ g_{\theta}(t) = \frac{\beta^{n\alpha}}{\Gamma (\alpha)^n} \: e^{\alpha \sum ln x_i -\beta \sum x_i}

আমরা gθ(t) খেয়াল করলে দেখতে পারি সাফিশিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক্স T(x) = (∑lnxi, ∑xi) হবে।

আরও দেখতে চাইলে:

Leave a Reply